Poliedri sa zajedničkim mrežama
Kosta Mašulović (2006), Novi Sad, 2. razred, Gimnazija “Jovan Jovanović Zmaj”, Novi Sad
Julija Petrović (2005), Kruševac, 3. razred, Gimnazija, Kruševac
Mentorka:
Maksimović Milica, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu
U ovom projektu bavili smo se nekim interesantnim mrežama poliedara sačinjenim od jediničnih jednakostraničnih trouglova. Mreža poliedra je skup međusobno povezanih oblika u ravni, koja kada se savije na određen način daje neko trodimenziono telo. Pošto su tela sačinjena od jednakostraničnih trouglova, svaki trougao bi trebao da deli stranice sa još tri susedna trougla. Međutim, u nekim situacijama ispostavlja se da jedan trougao može da deli stranice sa još četiri trougla, a ne samo sa tri. Tela kod kojih se ovo dešava nazivaju se „pseudotela“. Osnovno pitanje projekta bilo je postojanje mreže koja se može saviti u dva ili više različita tela, kao i postojanje beskonačne familije mreža sa tom osobinom. U okviru ovog projekta, posmatrane su mreže kojima je osnovno telo tetraedar, budući da je on trodimenzionalno oličenje jednakostraničnog trougla, dok je drugo telo nešto nepravilnije. To nepravilnije telo nazvano je „glista“ ili „glistasto telo“. Jedan od rezultata projekta jesu dva ovakva tela koja imaju zajedničku mrežu. Ako se fokusiramo na pseudotela, ispostavlja se da se može naći i više od dva tela sa zajedničkom mrežom. Osim toga, pokazano je da postoji beskonačna familija mreža sa navedenom osobinom. Štaviše, pronađena je i mreža koja daje beskonačno mnogo različitih pseudotela.
Superpermutacije
Neda Živanović (2007), Niš, 2. razred, Gimnazija ”Svetozar Marković” u Nišu
Mihajlo Markov (2005), Čenta, 4. razred, Matematička gimnazija, Beograd
Nina Gavrilović (2006), Lazarevac, 2. razred, Matematička gimnazija, Beograd
Mentorka:
Milena Jelić, Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Superpermutacija je niz koji sadrži sve permutacije nad skupom {1, 2, .., n}.
Postoji algoritam kojim se konstruiše superpermutacija za svako n. Tako konstruisana superpermutacija je palindrom. Razmatrana je dužina najkraće superpermutacije. Za brojeve do 4 je ta dužina tačno odredena, dok su za brojeve veće od 4 postavljena ograničenja dužine. U ovom radu je predstavljen algoritam za konstruisanje superpermutacije proizvoljne dužine koja je palindrom, a koja ne sadrži podniz koji je takode superpermutacija. Glavni deo rada je bilo određivanje ograničenja za dužinu najkraće superpermutacije među superpermutacijama sa osobinom da sadrže sve parne permutacije. Ograničenja koja su nađena zavise od parnosti broja n. Po uzoru na Robina Hjustona, koji je opovrgnuo hipotezu o minimalnoj dužini superpermutacije, implementiran je algoritam za rešavanje poznatog problema trgovačkog putnika kojim su dobijeni rezultati koji su poslužili za proveru tvrđenja koja važe za dužine superpermutacija, ali i za postavljanje hipoteza i usmeravanje daljeg rada. U radu je takođe razmatrano koliko se najmanje puta mora pojaviti broj n u superpermutaciji, ako je broj pojavljivanja brojeva od 1 do n-1 takođe minimalan. Tačan broj je određen za n manje od 4.
Figure koje se, za promenu, napadaju (po jednom)
Marko Ivković (2006), Beograd, 2. razred, Matematička gimnazija, Beograd
Petar Stojiljković (2006), Niš, 2. razred, Gimnazija “Svetozar Marković”, Niš
Mentor:
Bojan Bašić, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu
Problem postavljanja maksimalnog broja (istih) figura, koje se međusobno ne napadaju, na kvadratnu n x n tablu je veoma poznat i rešen za sve standardne figure. Cilj rada je pronaći najveći broj figura koje se mogu postaviti tako da svaka napada najviše jednu od preostalih. Poznato je da ovaj broj iznosi tačno ⌊4n/3⌋ za topa. Iz dokaza te tvrdnje sledi da za sve figure koje mogu napadati po vrsti i po koloni taj broj ne prelazi ⌊4n/3⌋. Dokazujemo da se takozvanih carica (kombinacija topa i skakača) može postaviti tačno toliko. Pomoću matematičke indukcije dobijamo traženu konstrukciju (koja, jasno, onda važi i za topove). Dalje, dokazujemo da se za table čija je dimenzija određenog oblika data granica dostiže i za dame. Što se tiče kraljeva, razmatramo hipotezu koja se javlja u literaturi o njihovom maksimalnom broju, i prikazujemo konstrukciju kojom se ta granica dostiže. Određujemo i maksimalan broj lovaca koji se mogu postaviti, uvodeći dosetku kojom se problem postavljanja lovaca svodi na problem postavljanja topova na table nestandardnog oblika, i potom koristeći kombinatorne rezone slične viđenima u slučaju topova. Na kraju, postavljamo hipotezu za skakače i tzv. skakavce, što otvara dosta prostora za dalji rad.
