Matematika

Đorđe Stevanović (2003), Ljubljana, 4. razred, Gimnazija “Svetozar Marković”, Niš
Marija Palamarević (2003), Obrenovac, 4. razred, Računarska gimnazija, Beograd

Mentori:
Bašić Bojan, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu

Problem pakovanja podrazumeva pakovanje određenog broja figura unapred zadatog oblika u što manju figuru unapred zadatog oblika. Do sada poznata najoptimalnija pakovanja mogu se naći na linku: https://erich-friedman.github.io/packing/ . Projekat se bavi metodama dokazivanja optimalnosti pakovanja određenog broja identičnih figura oblika kruga, kvadrata i L-a (kvadrat kome fali 1/4) u što manji krug ili kvadrta. Cilj projekta je pronalženje metoda dokazivanja i njima uspešno dokazivanje optimalnosti što većeg broja do sada poznatih optimalih pakovanja. U literaturi je poznat metod uvođenja konačno mnogo “neizbežnih tačaka”, tačaka koje svaka figura mora da sadrži, u unutrađnjosti ili na stranici, u određenom broju. Glavni metod kojim se rad bavi uopštava metodu “neizbežnih tačaka” prelazeći na “neizbežne duži”, duži od koje svaka figura mora da sadrži barem određenu dužinu. Ovom metodom uspešno je dokazana optimalnost nekolicine pakovanja za mali broj figura. Druga metoda, već poznata u literaturi za pokovanje krugova u kvadrate, kojom se rad bavi je intervalna pretraga optimalnosti pakovanja. Metoda je sačinjena od deljenja intervala u kome se mogu naći centri figura na manje intervale i brute force proveravanje koje od kombinacija intervala su idalje moguće. Ponavljanjem ovog algoritama, ako je pakovanje optimalno, sve dužine intervala će težiti nuli, to jest svi intervali će težiti tačkama. Metoda je takođe sačinjena i od matematičkog dokaza konvergencije ovih intervala.

Mihajlo Markov (2004), Aranđelovac, 3. razred, Matematička gimnazija, Beograd
Sanja Kojić (2004), Beograd, 3. razred, Matematička gimnazija, Beograd

Mentori:
Aleksić Danijel, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu

U ovom projektu smo se bavili različitim metodama imputacije nedostajućih podataka i upoređivanjem moći statističkog testa BHEP pri korišćenju svake od metoda. Prvi korak je bio generisanje baze podataka u programu R. Nakon toga smo brisali deo podataka korišćenjem različitih metoda za nasumično brisanje dela podataka iz generisane baze: MCAR (briše cele redove), MAR (nasumično briše podatke) i MNAR (briše cele kolone). Treći korak je podrazumevao korišćenje neke od tri metode za upis nedostajućih podataka koje smo izabrali da testiramo i uporedimo – mean (upisuje prosek, tj. aritmetičku sredinu nenedostajućih vrednosti te kolone), median (upisuje medijanu nenedostajućih vrednosti te kolone) i predictive mean matching (koristi složeniji složeniji i samim tim precizniji izraz za izračunavanje vrednosti koja nedostaje). Četvrti i poslednji korak je bio proveravanje da li je test BHEP uspeo da prepozna da je krajnja raspodela normalna (ili suprotno ako početna raspodela nije bila normalna). Naš zaključak i rezultat projekta jeste da je predictive mean matching (pmm) metoda ostvarila najbolje rezultate na testu moći.

Aleksa Džuklevski (2003), Novi Sad, 4. razred, Gimnazija “Jovan Jovanović Zmaj”, Novi Sad
Veljko Toljić (2003), Niš, 4. razred, Gimnazija “Svetozar Marković”, Niš

Mentori:
Pavle Martinović, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu

U ovom radu se bavimo nekim iterativnim procesima u elementarnoj geometriji. Specifično, istražujemo šta se dešava sa skupovima tačaka prilikom iteriranja operacije u kojoj skupu dodajemo tačke koje se dobijaju rotacijom svake tačke iz njega oko svake druge njegove tačke za fiksan ugao α. Na ovaj način, u limesu dobijamo skup zatvoren na rotacije oko svoje proizvoljne tačke za ugao α. Za takve skupove uvodimo naziv milje i u daljem se bavimo izučavanjem nekih geometrijskih i algebarskih osobina ovakvih skupova. Specijalno, pokazujemo da je svako milje osim pravilnih rešetki, skup gust u ravni. Takođe, dajemo parcijalnu klasifikaciju miljea koja se dobijaju opisanim postupkom u kom se početni skup sastoji od dve tačke. Ispostavlja se da za neke od njih, u zavisnosti od ugla α, važi da su zatvoreni i na translacije vektora čije krajeve određuju tačke iz tog skupa, i i na tu temu dajemo neke rezultate. Bavimo se još i problemom traženja figura koje se, do na sličnost, čuvaju navedenom transformacijom, i ispostavlja se da su jedna porodica figura sa ovim svojstvom figure konstantne širine. Pored ovoga pokazujemo neka sporedna tvrđenja o upisivanju pravilnih mnogouglova u milje, generisanju i međusobnoj izmorfnosti različitih miljea. Takođe se bavimo i nekim iterativnim procesima na trouglovima i četvorouglovima, u kojima se bavimo lociranjem limesa niza ugnježdenih trouglova (ili četvorouglova), odabranih na karakterističan način.

Milica Jovičić (2005), Beograd, 2. razred, Matematička gimnazija, Beograd

Mentori:
Kovačević Filip, ETH Zurich

Kaprekarova operacija K(123…n, n…321) je operacija koja se definiše na uređenim n-torkama prirodnih brojeva u nekoj prirodnoj bazi m. Prvo se konstruišu dve broja u bazi m, jedan čije su cifre članovi n-torke sortirani neopadajuće i drugi čije su cifre članovi n-torke sortirani nerastuće. Postupak se ponavlja na razlici ta dva broja, sve dok se ne dostigne fiksna tačka (uređenja n-torka koja se slika sama u sebe) ili ciklus (skup n-torki koji se dobja iteracijom članova). U ovom radu predstaviću dokaz da Kaprekarove operacije tipa K(231,321), K(123,132) i K(132,231) , na uređenim trojkama u parnoj bazi m dostižu fiksnu tačku (0,0,0) u maksimalno m/2 iteracija, u neparnoj bazi m dostižu fiksnu tačku (0,0,0) u maksimalno (m+1)/2 iteracija.