Matematika

Marko Lazić (2005), Beograd, 4. razred, XIII beogradska gimnazija
Danilo Ranđelović (2005), Požarevac, 4. razred, Matematička gimnazija

Mentori:
Dimitrije Glukčević, Prirodno-matematički fakultet u Nišu
Dušan Dragutinović, Utrecht University

U ovom radu razmatrana je ekvivalencija homogenih polinoma prilikom uvođenja linearnih smena promenljivih. Problem brojanja klasa ekvivalencije je već rešen u slučaju kada je stepen polinoma jednak 2. U ovom radu prebrojavali smo klase ekvivalencije polinoma stepena 3, definisanih nad konačnim poljima. Forme su homogeni polinomi, koji predstavljaju simetrična polilinearna preslikavanja, pa je stoga prirodno koristiti alate iz oblasti linearne algebre za njihovo detaljno ispitivanje. Detaljno opisujemo klase ekvivalencije prstena homogenih polinoma definisanog nad konačnim poljem karakteristike p pri uvođenju linearnih smena, što je ekvivalentan problem ispitivanja orbita delovanja opšte linearne grupe nad tim polinomima. Takođe, uvodimo identifikator i karakteristiku forme kao invarijantna svojstva pri linearnim smenama promenljivih, što omogućava bržu i efikasniju klasifikaciju polinoma. Nakon što smo izračunali identifikatore velikog broja formi, formalno opisujemo nekoliko ključnih osobina pomenute invarijante. Brojem različitih identifikatora procenjujemo broj klasa ekvivalencije odozdo, što nam daje korisne uvide u strukturu problema. Transformisanjem opšte linearne grupe, postavljeni problem smo sveli na ispitivanje njenog delovanja na konačan vektorski prostor, a potom smo traženi broj orbita izračunali primenom Bernsajdove leme. Podela indukovana definisanim invarijantama omogućava precizno određivanje broja klasa za kubne forme u dve promenljive nad konačnim poljima proste karakteristike oblika 6k+1, kao i za kvadratne forme u dve promenljive.

Kosta Mašulović (2006), Novi Sad, 3. razred, Gimnazija “Jovan Jovanović Zmaj”, Novi Sad
Simon Savić (2006), Čurug, 3. razred, Gimnazija “Jovan Jovanović Zmaj”, Novi Sad

Mentor:
Bojan Bašić, Prirodno-matematički fakultet u Novom Sadu
Aleksa Džuklevski, Prirodno-matematički fakultet u Novom Sadu

L-tromina je figura sačinjena od 3 jedinična kvadrata raspoređena u L oblik. Kompaktno
popločavanje predstavlja popločavanje u kojem nije moguće povući pravu (horizontalnu ili
vertikalnu) koja prolazi kroz popločanu figuru tako da nijedna pločica u figuri ne bude presečena tom pravom. Kompaktno popločavanje pravougaonika je već poznato, ali šta se dešava pri popločavanju nekog složenijeg tela? U ovom projektu bavili smo se kompaktnim
popločavanjima L-trominama, kako u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim, tako i u
višedimenzionalnim prostorima. Što se tiče dvodimenzionalnih tela, data su rešenja za cilindar, Mebijusovu traku i torus. Rad takođe prikazuje rezultat dobijen za kompaktno popločavanje kvadra. Naime, pokazano je da se svaki kvadar čija je bar jedna stranica deljiva sa 3 može kompaktno popločati trodimenzionalnim L-trominama. Ovo je postignuto svođenjem problema na dvodimenzionalni problem i korišćenjem već poznatih teorema za kompaktno popločavanje pravougaonika. Još jedno pitanje koje se nameće jeste šta se dešava u višedimenzionalnim prostorima. Pre svega, definisan je pojam višedimenzionalnih L-tromina, a zatim i pojam kompaktnosti u takvom prostoru. Ispostavlja se da se višedimenzionalni problemi mogu svesti na probleme manjih dimenzija za koje su rešenja poznata. Tako je principom matematičke indukcije dokazano da se svaki višedimenzionalni kvadar čija je bar jedna dimenzija deljiva sa 3 može kompaktno popločati višedimenzionalnim L-trominama. Poslednji rezultat rada zasnovan je na postavljanju donje granice za broj različitih kompaktnih popunjavanja trodimenzionalnog kvadra.

Danilo Grujić (2007), Kruševac, 3. razred, Gimnazija, Kruševac
Petar Stojiljković (2006), Niš, 3. razred, Gimnazija “Svetozar Marković”, Niš

Mentor:
Pavle Tepavčević, Prirodno-matematički fakultet u Novom Sadu

Prvi deo ovog rada biće posvećen analizi turnira u kojima učestvuju samo imitatori i varalice. Imitator, odnosno copycat, je strategija koja u prvom potezu sarađuje, dok svaki sledeći igra ono što je njen protivnik odigrao u prethodnom potezu (imitira protivnika). Varalica, odnosno cheat, je strategija koja uvek vara. Formalna definicija turnira data je kasnije, ali to je postavka u kojoj više igrača međusobno igra svako sa svakim. Koristeći invarijantnost redosleda strategija na dodavanje konstante broju poena koju svaki ishod nosi, a koju pokazujemo u ovom radu, nalazimo uslov pobede imitatora, iz čega zaključujemo da je njihova pobeda uvek moguća i, zatim, da njihova pobeda u jednoj rundi povlači pobedu u čitavom turniru.

Glavni deo rada se fokusira na analizu probabilističkih strategija i modelovanje susreta između njih diskretnim slučajnim promenljivama. Cilj rada je bio nalaženje metode kojom bi mogli da odredimo verovatnoću pobede na što efikasniji način. Uspešno nalazimo eksplicitne formule za očekivanje i varijansu čitavog susreta. Ove dve veličine su nam dovoljne da u potpunosti okarakterišemo proseke susreta. Ovim uspevamo da izbegnemo direktno odigravanje svih mogućih permutacija poteza i kombinatorno računanje verovatnoće pobede iz njih. Računanje tih parametara takođe optimizujemo. Dolazimo do formule za parametre linearne kombinacije slučajnih promenljivih koje se odnose na isti susret i pomoću nje izvodimo formulu za verovatnoću pobede jedne strategije nad drugom u proizvoljnoj rundi.